定理：「三角形の内角の２等分線は、対辺をその角をはさむ２辺の比に分ける」
この内角の２等分線の定理を、外角の２等分線に取り替えた定理

定理：「三角形の外角の２等分線は、対辺をその外角に隣り合う内角をはさむ２辺の比に外分する」
この定理は、中学では章末の問題で、高校の平面幾何では定理の一つとして扱っています。

一般に、この外角の２等分線の定理の証明には、補助線として下の図の ように１つの頂点から、２等分線に平行な直線を引き、平行線と辺の比の 定理を使い証明をしています。

実は、この定理の証明には、他の補助線、他の定理を使う方法が１０通り以 上もあるそうなのですが、どの様な方法があるのか知りたいのです。

補助線、使う定理を入れて証明をして見せるメッセージが頂きたいのです。
証明には、△ＡＢＣ、外角は∠ＤＡＢ、交点はＥとし、問題で指定され た符号以外には、Ｆ、Ｇ・・と順に符号を付けて頂きます。 　また、仮定、結論は不要です。 できれば、次の証明の形にならった形でお願いをいたします。

補助線：「点Ｃを通りＥＡに平行な直線

　を引き、ＡＢとの交点をＦとする。　　　　　　　　　　　

証明： ∠ＡＦＣ＝∠ＤＡＥ　(平行線の同位角)

　　　　　 　　　＝∠ＥＡＣ　(角の２等分線)

　　　　　　 　　＝∠ＡＣＦ (平行線の錯角)

２つの角が等しいから△ＡＦＣは２等辺三角形

したがって　ＡＦ＝ＡＣ　�@ 　　　ＢＡＥでＥＡ〃ＣＦで、

　　「平行線と辺の比の定理」により

　　 ＢＡ：ＦＡ＝ＢＥ：ＣＥ

　　　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＥ　(�@　により)

追伸：使う定理が同じでも補助線の引き方が違う場合、使う定理が違う場合など色々とあるようです。

定理も、面積を使う方法、合同、相似を使う方法などがあるそうです。
解法のページ